“數學界諾獎”！日本數學巨匠柏原正樹，成亞洲首位獲獎者！

本週，2025年的阿貝爾獎得主正式公佈，78歲的日本京都大學教授Masaki Kashiwara（柏原正樹），憑藉在代數分析和表示論領域做出的基礎貢獻（特別是D-模理論和晶體基領域的開創性成就），拿下了號稱數學界諾貝爾獎的阿貝爾獎，也成爲首位來自北美、歐洲或以色列以外地區的獲獎者。

01 數學三大獎

數學，作爲全世界自然科學最重要的基礎學科之一，深刻影響着人類文明進程的發展，爲了表彰數學家們的卓越貢獻，國際數學界設立了多項權威獎項，其中以菲爾茲獎、沃爾夫數學獎、阿貝爾獎最爲矚目，被稱爲“數學三大獎”。

前不久中國數學家王虹憑藉對掛谷猜想這一世紀難題的證明，成爲菲爾茲獎的熱門候選人之一，菲獎在1936年首次頒發，由加拿大數學家約翰·查爾斯·菲爾茲倡議設立，旨在獎勵40歲以下青年數學家的傑出成就，每四年頒發一次，截至2022年，全球僅65位數學家獲此殊榮，包括華裔數學家丘成桐和陶哲軒。

沃爾夫數學獎於1978年設立，是沃爾夫獎六大分支之一，不設置年齡，每年頒發一次，旨在表彰對人類科學與藝術文明有終身貢獻的數學家。這次的阿貝爾獎是設立時間最晚的一個獎項，於2003年由挪威設立，主要爲了紀念數學家尼爾斯·阿貝爾，每年頒發一次，無年齡限制，獎金達700萬挪威克朗（約合500萬人民幣）。

02 阿貝爾獎

菲獎注重表彰年輕數學家，阿貝爾獎則是完全對標諾獎，由挪威科學與文學院負責評選，主要就是爲了填補諾獎沒有數學獎的遺憾，截至2025年全球共有29位數學家獲得這一獎項，獲獎者平均年齡爲76歲，主要體現阿貝爾獎對終身成就的重視。所以說雖然菲獎有年齡限制獲獎難度更大，但是如果對標諾獎終身成就表彰這個級別，還是阿貝爾獎更有代表性。

在阿貝爾獎29位獲獎者中，數論、代數幾何和微分方程是獲獎成果最集中的方向，也是現代數學最前沿的發展趨勢，阿貝爾獎表彰數學家所取得的那些成就，也對全世界產生了深遠的影響，比如約翰·納什，他憑藉對非線性偏微分方程研究，在2015年獲得阿貝爾獎，而納什在博士論文中提出的納什均衡，獲得了諾貝爾經濟學獎，成爲至今唯一一位同時獲得諾獎和阿貝爾獎得主的數學家（比較遺憾的是納什從挪威領取阿貝爾獎後，從機場回家的途中遭遇車禍身亡）。

今年阿貝爾獎得主柏原正樹同樣也有類似的經歷，他在23歲碩士論文中，就早早提出了D-模理論的雛形，不僅有開創性的成果，同時也極其高產，阿貝爾獎的頒獎詞寫道，“50多年來，柏原正樹重塑並極大豐富了代數分析和表示論領域。他的工作已成爲幾代研究員的靈感源泉！”接下來一起看看這位大師的傳奇經歷和學術成果。

03 柏原正樹

柏原正樹（Masaki Kashiwara）1947年1月30日生於日本茨城縣結城市，小時候癡迷“鶴龜問題”（通過頭與腿的數量推算鶴與烏龜的數量，類似於我們的雞兔同籠），自幼展現出對數學的濃厚興趣。1969年，柏原正樹獲得東大數學學士學位，1971年完成碩士學業，師從日本代數分析先驅佐藤幹夫（Mikio Sato）。

碩士論文首次將代數工具系統引入微分方程研究，奠定了D-模理論（D-module）的基礎。1974年，柏原正樹在京都大學獲得博士學位，畢業論文中利用D-模理論與奇點分解，證明了伯恩斯坦-佐藤多項式（b函數）根的合理性，進一步拓展了代數分析的邊界。

1978年起，柏原正樹長期任職於京都大學數理解析研究所（RIMS），歷任教授、特任教授，柏原正樹曾經在1978年與1990年兩次受邀在國際數學家大會上發表演講，成爲日本數學界的重要代表之一，2010年退休後仍以名譽教授身份持續研究，專注於單子範疇（monoidal categories）等前沿領域。

04 D模理論

柏原正樹這次獲獎的主要成果之一就是D模理論（D-module theory），屬於代數分析中的核心分支、與微分方程的交叉領域，D-module中的D就是微分（Differential）的意思，微分大家在高中競賽或者大學都學過，D模理論最簡單用一句話解釋，就是用代數方法來研究微分算子的結構與微分方程的解空間，D-模就是微分算子環（D-環）的模。

具體來說，D-module中的D代表微分算子（Differential Operator），是一種抽象出來的數學工具，通常表示就是D或者d/dx，作用就是對函數進行微分運算，比如對於可微函數 f(x)，一階微分算子的作用定義爲D[f(x)]=df(x)/dx，高階微分算子則通過多次複合實現，也就有了乘積法則、鏈式法則這些基礎概念。

在代數分析中，D-環通常是指一個流形上的微分算子環，這裏的環（Ring），再加上環、域，都屬於抽象代數中最基礎的專有結構，比如這次柏原正樹得的阿貝爾獎，就有以阿貝爾爲名的阿貝爾羣。簡單來說，環就是符合兩個二元運算（通常稱爲加法和乘法）的一個集合。

05 延伸閱讀（黎曼-希爾伯特對應）

比如整數Z配備了普通的加法和乘法，就是一個有單位元的交換環，實數R和複數C也是有單位元的交換環，多項式R[x]也是同理，mxn矩陣集合在矩陣加法和乘法下也形成一個有單位元的環（但通常不是交換環）。再進一步，羣的範圍更基礎，是僅含一個二元運算的集合，阿貝爾羣就是符合特定運算性質（交換律）的羣，比如整數加法羣 (Z, +)就是一個阿貝爾羣。

D-module後面這個module模也是一個重要概念，理解起來會比較抽象，與大家學過向量空間類似，向量空間由集合 ( V ) 組成，配備了向量加法和標量乘法兩種運算，向量空間的標量來自一個域，比如常見的實數域R或複數域C，R^n就是一個典型的向量空間，而模的標量來自一個環，比如整數環Z 或多項式環R[x]，所以模比向量空間的應用還要更加廣泛（兩者本質都是阿貝爾羣）。

阿貝爾羣性質

D-module就是借鑑了這些代數思想，將微分方程轉化爲代數化模型，D-模也是一個在微分算子環上定義的阿貝爾羣，它的標量來自微分算子環，例如在歐氏空間R^n上，微分算子環包含偏導數運算符（比如∂/∂xi）以及它們的多項式組合。根據性質還可以對D-模進行分類，比如與有限維向量空間類似的Coherent D-模（Coherent D-modules）和正則D-模（D-modules with regular singularities）。

柏原正樹在1980年將微分方程系統在複流形奇點附近的“單值性”行爲轉化爲代數結構的分析，利用D-模理論證明了高維黎曼-希爾伯特對應（Riemann-Hilbert correspondence），在經典複分析中，黎曼-希爾伯特問題關注如何在複平面上找到具有特定單值行爲的解析函數或微分方程的解，隨着數學的發展，黎曼-希爾伯特對應被推廣到高維複流形上，涉及偏微分方程的研究，這時需要引入更復雜的數學工具，例如D-模理論和層論（sheaf theory）。

柏原正樹建立了複流形上Coherent D-modules與可構造層（constructible sheaves）之間的等價關係。具體來說，在複流形上，Coherent D-modules的範疇與可構造層的範疇之間存在一一對應，也就是上文提到的高維黎曼-希爾伯特對應，這個對應將微分方程的解空間（通過D-模描述）與幾何對象（如可構造層）聯繫起來，從而將微分方程的單值化表示與拓撲、幾何結構一一對應，爲日後研究高維微分方程和復幾何提供了強大的代數工具，柏原正樹也是因爲這一系列的理論獲得阿貝爾獎。

06 佐藤幹夫

當然，柏原正樹這些成就也不得不提到他的老師佐藤幹夫，佐藤幹夫被譽爲“代數分析”領域的奠基人之一，他也是畢業於東大，師從物理學家朝永振一郎，後轉向數學研究，1970年起任京都大學數理解析研究所教授，直至退休，佐藤幹夫於1958年提出超函數理論，將分佈理論推廣爲更廣泛的解析工具，用於描述線性偏微分方程的廣義解成爲代數分析的基石。

這些成果與格羅滕迪克的層論結合，爲後續D-模理論的發展鋪平道路，在柏原正樹獲獎後的採訪中，他提到這些興趣幾乎全部來自佐藤幹夫。Sato本人在2003年獲沃爾夫獎，除了柏原正樹外，他還培養了菲獎得主森重文等傑出數學家。

在教學上，佐藤也和一般的教授完全不同，他倡導“數學即宗教”的研究哲學，強調抽象思維與直覺的結合。柏原正樹回憶，Sato的教學風格以“禪問答”著稱，擅長啓發學生去突破技術細節、直抵問題本質，柏原正樹認爲正是老師的提點才幫助柏原正樹逐步走上學術之路，就用佐藤的一句話作爲本文的結尾，“真理本就渾然一體，我們不過發現了它的投影。”