破解世紀難題！華人女數學家王虹，有望獲得菲爾茲獎！

近日，華人女數學家王虹與合作者Joshua Zahl發佈了一篇127頁的論文，論文宣稱解決幾何測度論領域百年難題——三維Kakeya集合猜想（又稱掛谷猜想），引發全球數學界震動，很多學者認定王虹這項成果足以鎖定下屆2026年的菲爾茲獎！

當前，論文已經獲得菲爾茲獎得主陶哲軒的盛讚，陶本人研究Kakeya猜想已有十多年的時間，陶非常激動地分享了王虹的論文，他認爲在幾何測度論中，最受矚目的未解難題之一就是Kakeya掛谷猜想（三維空間），現在已經被王虹和Joshua Zahl證明！

01 什麼是掛谷猜想

掛谷猜想的雛形源於日本數學家掛谷宗一（Sōichi Kakeya），1917年，他提出的一個幾何問題：長度爲1的線段在平面上做剛體移動（可旋轉、可平移），轉過180度後調頭，掃過的最小面積是多少？掛谷宗一大膽猜測，這個最小面積可以趨於零，這一猜想後來被稱爲掛谷猜想（Kakeya Conjecture）。

問題原型可追溯至武士的實戰，一位武士在狹小的廁所內遭遇襲擊，手持一根短棒（假設長度爲1），需要通過旋轉或移動將短棒調頭180度來抵擋攻擊。求短棒掃過的最小面積是多少？用更直白的話來說，掛谷猜想是研究在一張平面上（或者更高維的空間，比如三維空間），能不能找到一個特別“節省空間”的方法，把一根針轉來轉去，讓它指向所有可能的方向，同時掃過的總面積（或體積）可以無限小，數學家把這個“掃過的空間”叫做掛谷集。

掛谷猜想還衍生出很多的小學奧賽題，比如下面這個題可能很多人都做過：將一條長度爲1的線段AB移到與之相距爲2的CD處，AB掃過的面積至少是多少？直覺計算很容易，將線段AB直接平移到相距2的CD處，掃過的面積是矩形面積 1×2=2；

但是如果用旋轉的方法，先將線段繞中點旋轉180°成水平，再平移後豎直，掃過的面積是兩個半圓（即一個圓），半徑爲線段長度的一半（1/2），面積爲 π(1/2)^2=π/4，進一步優化爲繞中點旋轉360°，面積可縮小至π/8。

02 早期發展：二維

掛谷這個看似簡單的幾何問題，足足困擾了數學家超過一個世紀。最容易想到的解法就是將這根針的一端作爲圓心，長度作爲半徑，旋轉一圈360度，面積爲（π×1^2=）π，轉過180度的面積爲π/2，在此基礎上很容易想到進階方法，以線段中心爲圓心旋轉360度，線段兩端到中心的距離爲0.5。

這裏只需要180度就能掃過所有面積，因此掃過一個半徑爲0.5的圓，每個端點掃過半圓面積π/8，旋轉後覆蓋面積爲π/4。掛谷提出了一種三角形，側面略微凹陷，線段中點畫圓，掃過的面積直接減半。

1928年，蘇聯數學家阿布拉姆·貝西科維奇（Abram Besicovitch）徹底顛覆了人們對掛谷猜想的認知。他證明在平面上存在一個面積可以任意小（甚至勒貝格測度爲零）的集合，能夠容納所有方向的單位線段。這種反直覺的結構被稱爲貝西科維奇集（Besicovitch set），構造原理如同在平面上編織一張無限分形的“刺蝟網”。

具體來說，先將線段AB繞某點旋轉一個極小的角度θ，此時掃過的面積爲兩個小扇形，面積與θ成正比，再通過多次分段平移和反向旋轉（類似“之字形”路徑），將總旋轉角度累積到180°，而每次微小的θ可使扇形面積趨近於零，這個思路其實和上面小學奧數題的解法類似，利用分形幾何的思想，將區域無限細分並重疊，使得整體面積趨近於零，最終線段結構被稱爲佩龍樹（Perron Tree），將三個不同旋轉角度（0°、120°、240°）的佩龍樹疊加，就可以形成覆蓋所有方向的密集“刺蝟狀”分形結構。

03 進階發展：高維

貝西科維奇的構造方法基於無限分割與分形式重組的幾何策略，極其顛覆直覺，貝西科維奇幾何趨近於零，但是複雜的分形結構足以容納所有潛在的方向，但這是二維的解法，如果推及到更廣義的n維歐幾里得空間中，還存在測度爲零的Kakeya集合嗎？

以三維空間爲例，需要處理球面方向覆蓋的分層嵌入，貝西科維奇的二維方法無法直接擴展。到了1971年，數學家羅傑·戴維斯證明，任何二維Kakeya集合的Hausdorff維度均爲2，二維平面的Kakeya猜想得到完美解決，但是高維情況下的Kakeya猜想仍然無解。

1971同年數學家坎寧安（F. Cunningham）在單位圓內構造了面積極小的單連通掛谷集，證明若限定爲星形區域，面積下界爲π/108 ≈ 0.029，但仍無法證明面積可無限趨於零。到了2014年，華人數學家陶哲軒在博客分享了自己十多年嘗試證明Kakeya猜想的博客，詳細論述了他的研究方法，掛谷猜想的價值極高，成爲連接多個數學分支的橋樑，也是幾何測度論和調和分析等領域的核心問題，陶希望未來有其他數學家能夠嘗試類似的方法，此時距離掛谷最早提出猜想已經過去了100年。

04 2025年：曙光

到了2025年2月，就在大家爲DeepSeek的發展狂歡時，數學家王虹（Hong Wang）和約書亞·扎爾（Joshua Zahl）宣稱解決了三維Kakeya猜想，並將論文放在arXiv上面，一共127頁，但是王虹在摘要中的論述非常短，“Kakeya集合猜想斷言，在R^n中，每個Kakeya集合的Minkowski維數和Hausdorff維數均爲n。n=2的猜想已被解決，當在三維及更高維度下，該問題仍未解決。而在這項工作中，研究者解決了三維空間中的Kakeya集合猜想。”

菲爾茲獎得主陶哲軒看過論文後給出極高的評價，學界普遍認爲王虹的成果是幾何測度論的里程碑，王虹因此成爲2026年菲爾茲獎最熱門候選人之一，諾貝爾獎裏沒有數學獎，而菲獎的難度還要大於諾獎，因爲年齡僅限40歲以下的學者，王虹極有可能獲獎。

王虹目前爲紐約大學柯朗數學科學研究所副教授，2007年進入北京大學地球與空間科學學院學習，後來轉系進入數學系，並非競賽出身，2014年，王虹獲巴黎綜合理工學院工程師學位和巴黎第十一大學碩士學位，2019年獲麻省理工學院博士學位，2021年完成在普林斯頓高等研究院的博士後研究工作，同年進入加州大學洛杉磯分校任助理教授。

2022年，王虹獲瑪麗安·米爾扎哈尼新前沿獎，2023年獲世界華人數學家聯盟鮑劍文最佳論文獎，同年加入紐約大學柯朗數學科學研究所任副教授，2026年菲爾茲獎預測中排在第一有望成爲首位華人女性得主，而且王虹是跳了兩級考上北大的，所以是1991年出生，到2030年仍有機會拿菲獎。當前雖然衆多學者肯定論文成果，陶直接給論文做背書，王虹也憑藉這個方向的成果已經拿了兩項大獎，但還是要走流程經過同行審議後進行正式發表，無論是否能夠拿菲獎，王虹的成果已經足以載入史冊。