概率补偿——为了游戏体验的巧妙设计

Intro——完全随机的游戏belike

让我们构想一个情景：你正在玩一款类Dota游戏，渡劫局，赢了这把就能升到最高段位。

这局游戏中你是远程大哥位，依仗暴击的那种射手。经过线上的唯唯诺诺，蒙头苦刷，你通过装备将自己的暴击率提升到50%。

接下来是重要的资源团战，你精致走位，疯狂平A，但是你逐渐发现不对，明明有50%的暴击率，但是你就是A不出几下暴击，只能看着对面的战士疯狂打乱你们的团战阵型。然后你输掉团战，节奏一塌糊涂，输掉对局，渡劫失败，被队友没收双亲，你愤而删游。

结束。

这就是没有概率补偿的类Dota游戏中极大可能出现的情况，在某些关键的节点，随机性并没有那么可靠，因为随机性真的太过随机了。

面板数据随机性的数学解读

一枚完全质地均匀，六面质量相同的理想骰子，投掷一次得到每一面的几率都是1/6，数学上称之为古典概型。试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，且试验中每个基本事件出现的可能性相等。

那么假设玩家此时暴击率为50%，作为古典概型是否适合在游戏中表达呢？

还是回到骰子，此时骰子就在你的手上，连续投出六次，奇了怪了，居然全是六点。你又投了六次，这次居然又全是三点。你感到疑惑。

不是说好的1/6吗？

那么这里就要提到样本容量。样本容量是指一个样本中所包含的单位数，你一共投了六次骰子，那么样本容量为六次。样本容量的大小与推断估计的准确性有着直接的联系，在总体既定的情况下，样本容量越大其统计估计量的代表性误差就越小，反之,样本容量越小其估计误差也就越大。

图源：https://www.cnblogs.com/yanFlyBlog/articles/14752635.html

六次是一个很小的样本容量，所以你有很大的可能并不能得到1/6这个值。而当你连续投上一万次，十万次，更多次，那么最终得到的数据将无限逼近1/6。

回到游戏上，人们对于概率的第一感知是片面的，因为样本容量难以直观感受。人们会自然地将视线关注到极端现象以及关键数据：比如连续没有达成其中某一结果，或者关键团战的概率结果。

举个例子，假设你保持50%的暴击率，在整局游戏中平A了一万次，最后统计，从总体来看，你暴击的次数在五千次左右，没有问题。可是你就是在关键团战中，一次暴击也没A出来。就这样，一段“合理“的极端情况毁掉了你一整局的游戏体验。

那有没有办法避免这样的极端情况，同时尽可能保持暴击率呢？

游戏设计师：“有的兄弟，有的！”

☝️🤓

概率补偿——为了游戏体验的巧妙设计

《魔兽争霸3》的设计师给出了“概率补偿”这一天才设计：

还是面板50%的暴击，这次我们这样设定——实际上，你第一次的暴击几率并没有50%，而是25.7%，如果这一次攻击没有暴击，那么下一次攻击的暴击几率提升到51.4%，以此类推，在第四次攻击时提升至100%。当产生暴击，下一次攻击的暴击几率再次回到25.7%。

我们来简单通过马尔可夫链的稳态概率计算一下，按照这样设计的实际暴击率是多少？

状态0：初始状态，暴击概率为25.7%（0.257）。

状态1：前一次未暴击，当前暴击概率为51.4%（0.514）。

状态2：前两次未暴击，当前暴击概率为77.1%（0.771）。

状态3：前三次未暴击，第四次必定暴击（100%）。

状态0：暴击后仍为状态0（概率0.257），未暴击转移到状态1（概率0.743）。

状态1：暴击返回状态0（概率0.514），未暴击转移到状态2（概率0.486）。

状态2：暴击返回状态0（概率0.771），未暴击转移到状态3（概率0.229）。

状态3：必定暴击，返回状态0（概率1）。

设稳态概率为π₀（状态0）、π₁（状态1）、π₂（状态2）、π₃（状态3），满足：

π₀ = 0.257π₀ + 0.514π₁ + 0.771π₂ + π₃ 

π₁ = 0.743π₀ 

π₂ = 0.486π₁ 

π₃ = 0.229π₂ 

π₀ + π₁ + π₂ + π₃ = 1

得到：

π₀ ≈ 0.4572, π₁ ≈ 0.3397,  π₂ ≈ 0.1651, π₃ ≈ 0.0378

平均暴击率为各状态暴击概率的加权和：

{平均暴击率} = 0.257π₀ + 0.514π₁ + 0.771π₂ + 1.0π₃ ≈ 45.74%

按照该机制，实际平均暴击率约为 45.7%。

概率补偿的数学表达

与面板上的暴击率存在一定的差距，但是通过概率补偿，我们可以明显看到它避免了极端数据的出现：降低第一次暴击的概率，一定情况下避免了“刀刀烈火”的出现（所以S8的JackeyLove向前闪现的四下暴击真是难得）；而同时增大后面攻击的暴击概率，避免了死活打不出暴击的情况。

尽管实际的暴击率低于面板上的，但是你的游戏体验得到了保障。

“叽里咕噜说啥呢，我玩百爆的😋😋”

概率补偿的应用不止于游戏中的数值计算：抽卡，装备强化，掉落机制等等机制中都能见其身影。

同时针对不同机制需求，概率补偿得具体形式也有不同侧重的分化：递增型概率补偿（刚才已经提过），保底机制（Hard Pity，设置绝对上限，失败次数达到阈值后强制成功），衰减型补偿（反向调控，连续成功后降低概率，防止过度收益），动态平滑算法（如PRD伪随机，通过数学公式（如马尔可夫链）动态调整概率，使结果分布更接近“人类直觉”），有机会我们再单独讨论。

从体验上来说，玩家对“公平性”的感知比数学真实更重要（至理），人的感知有限，10%暴击率若连续10次未暴击，会被认为“虚假”。“概率补偿”通过巧妙的算法，实现了一定程度的“数学真实”与“玩家体验”的平衡。让随机性更好地服务于游戏。