张益唐——黎曼猜想,华人数学家再创重大突破!

11月5日,华人科学家张益唐教授,在山东大学分享了他最新的学术成果,论文主题为朗道-西格尔零点猜想,该猜想主要解决广义黎曼猜想中L函数是否存在异常零点的问题,张益唐本人相当自信,预计论文在同行评审通过后,将成为数学史上又一里程碑的突破,而且会比张益唐在孪生素数猜想上的成就意义更大!



七大难题

黎曼猜想,是波恩哈德·黎曼在1859年提出的,接近200年的时间里,黎曼猜想成为数学家最感兴趣,同时也是数学界最重要的问题!在千禧年之际,麻省剑桥市的克雷数学研究所,选出了七个“世界难题”,每个问题都象征性地悬赏一百万美元。

“七大难题”包含NP完全问题、庞加莱猜想、杨-米尔斯存在性和质量间隙等难题,黎曼猜想正是其中之一。在此之前,普遍科学家认为广义黎曼假设预计是正确的;截至目前,已经有上千条数学命题是以黎曼猜想的证明作为前提存在的,那么黎曼猜想与本次张益唐教授的成果有何关系呢?

朗道-西格尔零点猜想(Landau-Siegel Zeros Conjecture),是黎曼猜想的某种弱形式,通常也被视作黎曼猜想的核心问题,如果论证这个所谓的朗道-西格尔零点不存在,那么上千个数学命题将直接晋升为公理;若零点存在,那么将与黎曼猜想产生冲突......



素数

1859年8月,32岁的数学家黎曼,向柏林科学院提交了一篇论文,题目为“论小于一个给定值的素数的个数”,短短八页的论文中的猜想成为后世数学家奋力解决的问题,文中黎曼所探究的问题其实相当相当简单,只需要小学三年级学生就能看懂,黎曼抛出问题:小于20的素数有多少个?

答案是8个:2,3,5,7,11,13,17和19。黎曼继续发问,小于1000的素数有多少个?小于100万呢?小于10亿呢?尽管我们今天的超级计算机轻松给出答案,小于1000的有168个素数,小于100万有78498个,小于10亿的有50847534个,数学家高斯则亲手统计过300万以内的素数,但我们依然需要一个普遍的规律或公式,来确定素数的分布情况。

黎曼提出了对这个问题的一个猜想,然后附文写道,“人们当然希望对此有一个严格的证明,但是我稍稍做了一些徒劳的尝试后,便把寻求这样一个证明的事搁置一边,因为它对于我目前的研究工作并不是必需的”,恰恰是这个不算太起眼的猜测,成为数学界最重要的谜题,这个猜测日后被称为“黎曼假设”/“黎曼猜想”。



素数定理

讨论素数,我们很容易发现自然数越靠后的数字,素数出现的频率似乎越低,经过简单统计,1到100之间有25个质数;401到500之间有17个;901到1000只有14个;像这样每隔100个整数取一次,一直列到10000亿,最后一组百数段里仅有4个素数。如果这样一直到万亿万亿万亿万亿,最后在某一个地方之后素数会不存在吗?

这个问题早在公元前300年,欧几里得就已经给出了相当完备的证明,他认为素数永远不会稀疏到没有,即没有最大的素数——素数无限定理,欧几里得假设从p1开始一直到pn均为素数,最大的素数为pn,构造一个s = (p1 x p2 x p3 x ... x pn) + 1 的数,若s为素数,那么s>pn与假设矛盾,若s并非素数,那么s不能被已知最大的素数整除,同样矛盾。

已知素数有无穷多个,再来考虑素数的分布问题,上面我们用π(N)来表示“小于(等于)N的素数个数”,再简单用N/π(N),得到了一组似乎是以7为公差的等差数列,这仅仅是巧合吗?我们再将对数log N对比列出来,可以发现,当N越大的时候,N/π(N)越接近log N。



黎曼ζ函数

有了这一发现后,我们按照欧拉使用的数学符号得到上面的素数定理,接下来的内容则涉及到高数/数分,我们从调和级数开始入手,调和级数可以简单理解为调和数列(各项倒数为等差数列的级数)各元素之和,可以通过Cauchy判别法判断,所有调和级数都是发散的(Divergent)。

原本的调和级数如下式,即1,2,3,....各项倒数所成的数列,我们继续推广,1,2,3,....平方的倒数所组成的数列,即级数1+1/4+1/9+1/16+...,欧拉给出了极限为π^2/6,即自然数平方倒数之和等于π^2/6,每一个初次看到这个证明的人都会为数学的神奇震惊不已,我们继续推而广之。

将调和级数推广到下面的ζ函数(Zeta Func),上面自然数平方倒数之和可以理解为ζ(2),上面第一段的调和级数ζ(1)→∞,欧拉继续证明ζ(2)=π^2/6,最终在1737年发现欧拉乘积公式,初步探究到ζ函数与素数存在某种关系,黎曼进一步思考,如果ζ函数里的s均为素数呢?



黎曼猜想

黎曼研究的领域极广,同时也是复分析的创始人之一,他发现如果从复平面上思考Zeta函数,会出现很有意思的变化。复平面上X轴对应实部,Y轴对应虚部,将复数输入ζ函数,发现仅有在实部大于1的情况下级数才收敛。原有的ζ函数只满足实部 Re(s) > 1的情况,黎曼于是进行了“解析延拓”。

这部分的可视化可以参考3B1B的视频,黎曼对欧拉的ζ函数进一步推广到复平面,即填补Re(s) < 1的函数,使得黎曼ζ函数同时符合欧拉常规的s与复平面上的s,下图中左半部分即为解析延拓的可视化,它们不是被求和算出来的,而是通过解析延拓证明出来,且具有唯一性,当s=-1时,我们可以得出ζ(-1)=-1/12(注:该式非自然数和)。

有了以上基础,我们推导出黎曼ζ函数满足以下代数关系式,我们发现当S=-2n时ζ为零,我们将其称为黎曼ζ 函数的零点,这一部分零点分布有序,我们将其称为平凡零点 (trivial zero),其他零点则称为非平凡零点,黎曼给出猜想是,黎曼ζ函数的所有非平凡零点,都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上,即实部=1/2的轴上,换句话说,方程ζ(s)=0的解的实部都是1/2。



朗道-西格尔零点猜想

黎曼猜测Zeta函数所有非平凡零点都在实部1/2的直线上,此后多位数学家在黎曼ζ 函数的基础上不断打“补丁”,到了十九世纪,数学家狄利克雷引入L函数,相信很多人都听说过狄利克雷定理,即对于任意互质的正整数a,d,有无限多个形式如a+nd的素数。

于是描述狄利克雷L函数的黎曼猜想被称作广义黎曼猜想(GRH),原问题从黎曼ζ 函数非平凡零点都在实部1/2的直线,变成L函数的非平凡零点都位于1/2直线上,西格尔给出ξ函数数值的计算方法,他与老师朗道一起发现了L函数理论中的零点现象,并且确定非平凡零点基本上落在类沙漏的区域,此前Atiyah爵士曾自称证明了黎曼猜想,而张益唐在07年曾给出过L函数非平凡零点的下界估计。

但当时的理论还存在瑕疵,于是张益唐13年在孪生素数方向取得突破性研究,确立了存在无穷多差小于7000万的素数对,有了这一基础,22年的菲奖得主詹姆斯·梅纳德对孪生素数继续进行优化;今天张益唐的新论文也是抛出了L函数在1处的下界(log D)^(-2022),这里-2022也相当具有代表意义,如果方法成行,那么有机会像孪生素数那样继续优化,直到L函数要求的-1。



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